Геометрические задачи с практическим содержанием

Геометрические задачи с практическим   содержанием

Учебный курс предпрофильной подготовки

для учащихся 9 класса, 14 часов.

                                                                                                Воронова Л. А.,

                                   учитель математики школы № 546 Санкт-Петербурга

Аннотация

В начале 21 века геометрия в школе идет довольно трудно. В связи с этим хотелось бы сместить акцент с «полезности» этого предмета в сторону его воспитательных возможностей, утверждая, что именно они являются тем смыслом, ради которого стоит изучать геометрию.

Геометрические знания нужны строителям, инженерам, изобретателям, но среди школьников немного таких, кто выберет эти профессии. Сейчас популярны бухгалтеры, юристы, дизайнеры, менеджеры. А вот им и даже врачам и деятелям культуры – зачем, скажете геометрия?

 Так вот с моей точки зрения, как учителя, польза в том, что геометрия развивает следующие качества:

       - способность к мышлению вообще;

       - ответственность за принятые решения и сделанные выводы;

       - смекалку, умение преодолевать трудности;

       -  внимательность и аккуратность;

       -  правильность, четкость и точность в изложении своей мысли;

       - и, как ни странно, патриотизм, потому как должны же русские люди обрести достоинство, основанное на настоящих ценностях: крепких знаниях, духовной и мыслительной культуре.

Пояснительная записка

        Курс адресован учащимся 9 класса, которые хотят развить в себе такие нужные качества:

Ø  точность и грамотность речи, ее убедительность;

Ø  честность и справедливость, умение отличить обман от правды;

Ø  самостоятельность.

      Цель курса: усилить практическую направленность изучения школьного предмета  геометрии, способствовать формированию представлений о человеке как части природы, осознанию его роли в окружающем мире.

      Задачи курса:

·    выработать необходимые навыки решения практических задач, умения оценивать величины и находить их приближенные значения;

·    сформировать представления о соотношениях размеров реальных объектов и связанных с ними геометрических величин;

·    закрепить навыки работы с таблицами и другими справочными материалами;

·     повысить интерес, мотивацию, и как следствие, эффективность изучения геометрии.

Данный курс дополняет и расширяет спектр задач из курса геометрии 7 - 11 и может быть использован при подготовке к ГИА и ЕГЭ по математике.

Элективный курс может быть отнесен к предметно-ориентированному.

Возможные формы оценки результатов освоения элективного курса.

     В процессе освоения элективного курса возможны следующие оценки результатов:

·       оценивание качества самостоятельных работ учащихся

·       самооценка практических работ

·       взаимооценка практических и самостоятельных работ

·       обсуждение решения задач во время собеседования за «круглым столом»

Возможные формы итоговой аттестации учащихся по окончании курса.

Итоговая аттестация учащихся осуществляется в форме проектной работы на возможную тему « Как геометрия помогает мне строить и украшать». Тему проекта учащийся может выбрать по своему усмотрению.

 Возможные формы итоговой аттестации: письменная, устная, собеседование с учителем по теме курса, выступление во время семинара или «круглого стола».

Результативностью курса можно считать качество решения учащимися предлагаемых задач, создание интересной проектной работы, а также умение отстоять свое мнение при публичных выступлениях.

Учебно-тематическое планирование

№	Тема	Часы	Форма   занятий	Форма контроля
1	Нахождение расстояний. Применение теоремы Пифагора.	2	Занятие-обсуждение. Практикум.	Самостоятельная работа
2	Задачи на нахождение углов	2	Беседа. Практикум.	Взаимоконтроль учащихся
3	Задачи, сводящиеся к нахождению длин дуг окружности	2	Фронтальная работа. Индивидуальная работа с учащимися.	Проверочная работа
4	Нахождение расстояний до недоступных объектов с использованием подобия	2	Занятие-обсуждение. Индивидуальные консультации.	Письменные работы учащихся
5	Нахождение расстояний и углов с использованием табличных значений тригонометрических функций	2	Мини-лекция. Практикум.	Обсуждение полученных результатов
6	Нахождение площадей плоских  фигур и площадей поверхностей пространственных фигур	2	Беседа. Практикум. Работа в парах.	Взаимоконтроль учащихся
7	Задачи на нахождение объемов пространственных фигур.	1	Фронтальная работа. Практикум.	Проверочная работа
8	Обобщительно-повторительное занятие	1	Занятие-обсуждение	Круглый стол
	Итого	14

           Содержание курса представлено подборкой задач с практическими данными, которые служат для реализации его целей.

            1.   Расстояния. Теорема Пифагора. (2 часа )

                                                   

 1. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 18м и 48м.Найдите расстояние, на котором находится от дороги средний столб.

   2. Мальчик прошёл от дома по направлению на восток 800 м.Затем повернул на север и прошёл 600м.На каком расстоянии от дома оказался мальчик?

    3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние(в км) будет между ними через 30 минут?

    4. Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

    5. Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от её нижнего конца до стену равно 3.5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?

 

   

    6. Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала до окна дома  на высоте 8 футов, если её нижний конец отстоит от дома на 6 футов?

   7. Из круглого бревна нужно вырезать брус с поперечным сечение 5*12(см). Какой наименьший диаметр должно иметь бревно?

   8. Какое наименьшее ребро должна иметь кубическая коробка, чтобы в неё поместился театраэдр с ребром, равным 8 см? В ответе укажите целое число сантиметров.

   9. В одном углу комнаты с размером 4*5*3 (м) сидит муха. В противоположном углу сидит паук. Найдите длину кратчайшего пути по поверхности комнаты, по которому паук может доползти до мухи. В ответе укажите приближенное значение в метрах с точностью до одного знака после запятой.

 

   10.На вершинах двух ёлок сидят две вороны. Высота ёлок равна 4м и 6м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии

нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, то есть чтобы расстояния от них до сыра были одинаковыми?    

  

                                 2. Углы ( 2часа)

     1. Сколько спиц в колесе, если углы между соседними спицами равны 18 градусов?

    2. Сколько зубцов имеет колесо  зубчатой передачи, если дуга окружности этого колеса, заключенная между двумя соседними зубцами, равна 12 градусов?

    3. Какой угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 5ч?

   4. Сколько оборотов в минуту делает зубчатое колесо с 32 зубцами, если сцеплённое  с ним зубчатого колесо с 8 зубцами делает 12 оборотов в минуту?

   5. Зубчатое колесо имеет 12 зубцов. Сколько зубцов имеет сцепленное с ним второе зубчатое колеса, если при одном обороте первого колеса второе поворачивается на угол 120 градусов?

   6. На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси за 8 часов?

   7.На сколько градусов повернется Земля вокруг своей оси на 90 градусов?

   8.Для измерения углов артиллеристы употребляют особую единицу, которую называют тысячной. В трехстах шестидесяти градусах содержится 6000 тысячных. Сколько тысячных содержится в 1 градусе 30`?

   9.Угол в 1,5 градусах рассматривают в лупу, увеличивающую в четыре раза. Какой величины кажется угол?

   10.Окружность морских компасов делятся на 32 равные части,    называемые румбами. Сколько градусов составляют 4 румба?

                                     3. Окружность (2часа)

    1.Длина окружности равна 60 см. Найдите длину дуги этой окружности, содержащую 18 градусов.

   2.Шар диаметром 1 м откатился по прямой на 10 м. Сколько полных оборотов он сделал?

  3.При поднятии воды из колодца вал делает 20 оборотов. Найдите глубину колодца (в метрах), если диаметр вала равен 0.2 м. (Примите П ≈ 3)

  4.Сколько оборотов должен сделать  вал, чтобы поднять воду из колодца глубиной 9 м, если диаметр вала равен 0.2м? (Примите ≈3)

  5.Поле стадиона имеет форму прямоугольника с примыкающими к нему с двух сторон полукругами. Длина беговой дорожки вокруг поля равна 400м. Длина каждого из двух  прямолинейных  участков дорожки равна 100 м. Найдите ширину l поля стадиона. В ответе укажите значение выражения lП.

  6.Какой длины должен быть приводной ремень, соединяющий два шкива с диаметрами 20 см, если расстояние между их центрами равно 50 см? (Примите П ≈3)

  7.Столяру нужно сделать круглые стол на 6 человек. Каким должен быть диаметр стола (в сантиметрах) , чтобы на каждого из сидящих за столом шести человек приходилось 80 см по окружности стола? (Примите П ≈3)

  8.Какое наибольшее число людей можно рассадить за круглым столом радиуса 1 м так,чтобы на каждого человека приходилось не менее 60 см длины дуги окружности стола.

(Примите П ≈3)

   9.Водопроводная труба имеет в обхвате 246 см и в толщину стенок 2 см . Найдите внутренний диаметр сечения трубы. (Примите П ≈3)

   10.Стрелок из лука видит мишень диаметра 120 см под углом 1 градус. Найдите расстояние до мишени. Укажите приближенное значение, выражаемое целым числом метров. (Примите П ≈3)

 

                               4. Подобие(2 часа)

 1.  Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырём шагам. На какой высоте расположен фонарь?

  2. Человек ростом 1.8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 54 м. Найдите длину тени человека в метрах.

  3. Чтобы измерить высоту дерева, ученик держит линейку в вертикальном положении на расстоянии вытянутой руки. Расстояние от глаз ученика до линейки равно 60 см. Часть линейки, закрывающая дерево, составляет 20 см. Расстояние от ученика до дерева равно 18 м. Чему равна высота дерева?

  4. Столб высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если её держать на расстоянии 60 см от глаза. Найдите расстояние (в м.) от наблюдателя до столба.

  5. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное-3 м. на какую высоту опускается конец короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1.5 м? Ответ дайте в метрах

  6. Апельсин в два раза выше мандарина. Мандарин весит 40 г. Считая их формулу шарообразной и удельный вес одинаковым, найдите вес апельсина.

  7. Эйфелева  башня в Париже высотой 300 м весит 8000000 кг. Некто захотел изготовить точную копию этой башни весом один килограмм. Какова будет высота этой модели. Ответ дайте в сантиметрах.

 

  8. Диаметр Луны приближенно равен 3400 км. Диаметр Солнца приближенно равен 1400000 км, и оно кажется с Земли такой же величины, как Луна. Во сколько раз расстояние от Земли до Солнца больше, чем расстояние от Земли до Луны? В ответе укажите целое число сотен раз.

                                5. Тригонометрические функции (2 часа)

   1. Мальчик прошёл от дома по направлению на восток 800м. Затем повернул на север и прошёл 600 м. Под каким углом к направлению на запад он должен идти, чтобы вернуться домой? В ответе укажите целое число градусов.(Используйте таблицу тригонометрических функций)

  2. Грибник, войдя в лес, в течение двух часов шел в направлении на север, а затем с той же скоростью в течение полутора часов- на восток. Под каким углом к направлению на юг он должен идти, чтобы вернуться к месту, где он вошёл в лес? В ответе  укажите целое число градусов. .(Используйте таблицу тригонометрических функций)

 3. Пожарная лестница выдвинута на 50 м придельному угле подъема 72 градуса. Используя таблицу значения тригонометрических функций, найдите высоту, которой достиг верхний конец лестницы, если её нижний конец отстоит от поверхности земли на 1 м.

 4. Телеграфный столб высотой 10 м находится на берегу реки. Верхний конец столба виден с другого берега под углом 20 градусов к горизонту. Используя таблицу тригонометрических функций , найдите ширину реки.

 5. Лестница имеет ступеньки, ширина которых равна 30 см, а высота- 18 см. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите угол  подъема лестницы. В ответе укажите приближенное значение, выражаемое целым числом градусов.

   6. Угол подъема лестницы дачного домика равен 58 градусов. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите высоту ступенек лестницы, если ширина ступенек равна 20 см.

  7. Расстояние от наблюдателя до главного здания МГУ имени М.В. Ломоносова равно 150 м, а угол, под которым видно здание, равен 58 градусов. Используя таблицу значений тригонометрических функций, найдите высоту главного здания МГУ.В ответе укажите приближенное значение , равное целому числу метров.

  8.  Вершина радиомачты видна с расстояния 300 м от её основания под углом 10 градусов. Используя таблицу значений тригонометрических функций, найдите высоту радиомачты.

  9. Для определения высоты колонны поступили следующим образом: отошли от её основания на 100 м , поставили угломерный прибор высотой 1.6 м и установили, что вершина колонны видна под углом 22 градуса. Используя таблицу тригонометрических функций, найдите высоту колоны.

                                     6. Площадь ( 2часа )

  1. Ширина футбольных ворот равна 8 ярдам, высота – 8 футам. Найдите площадь футбольных ворот в квадратных футах (1 ярд составляет 3 фута).

  2. Для разметки вратарской площадки на футбольном поле на расстоянии 6 ярдов от каждой стоики ворот под прямым углом к линии ворот вглубь поля проводиться два отрезка длиной 6 ярдов. Концы этих отрезков соединяются отрезком, параллельным линии ворот. Найдите площадь вратарской площадки в квадратных футах, учитывая , что ширина ворот равна 8 ярдов (1 ярд составляет 3 фута)

  3. Ширина хоккейных ворот равна 6 футам , высота- 4 фута. Найдите приближенную площадь ворот квадратных метрах с точность до двух знаков после запятой. (1 фут равен 30.5 см.)

  4. Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 15 см, что бы облицевать ими стены, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3 м и 2.7 м.

  5. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 6 м , требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек.

  6. Две трубы, диаметра которых равны 10 см и 24 см требуется заменить одной, не изменяемой их пропускной способности. Каким должен быть диаметр новой трубы.

  7 . Бумажная лента плотно намотана на катушку, внутренний диаметр которой равен 20 см. Толщина бумаги равна 0.5 мм., а толщина намотанного рулона 30см. Найдите длину бумажной ленты. Ответ дайте в метрах.  (Примите П ≈3)

  8. Из квадратного листа жести со стороной 20 см вырезали круг наибольшего диаметра. Какой примерный процент площади листа жести составляет площадь обрезков? (Примите П ≈3)

  9. Основание садового домика- прямоугольник 6* 8 (м). Крыша наклонена под углом 45 градусов к основанию. Найдите площадь крыши . В ответе укажите приближенное значению, равное целому числу квадратных метров.

  10. Какого наименьшего периметра может быть прямоугольная площадка площади 100 м в квадрате?

                            7. Объём ( 1 час )

1.   Сколько коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размерами 30* 40*50 (см) можно поместить в кузов машины с размерами 2*3*1.5 (м).

 2.Сколько досок длинной 3.5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющий в сечении прямоугольник размеров 30 см на 40 см?

  3.Какова должна быть площадь кабинета высотой 3.5 м для класса в 28 человек, если на каждого ученика нужно 7.5 м в кубе воздуха?

  4.Профиль русла реки имеет форму равнобедренной трапеции, основания которой равны 10 м и 6 м, а высота-2 м. Скорость течения равна 1 м/с. Какой объём воды проходит через этот профиль за 1 мин. Ответ дайте в кубических метрах.

   5.Какой объём краски потребуется, чтобы окрасить внешнюю поверхность цилиндрической трубы диаметра 1 м и длины 10 м слоем краски в 1 мм? Ответ дайте в кубических дециметрах. (Примите П ≈3)

    6.В каждой грани медного куба с ребром 6 см проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2 см. Найдите вес оставшейся части, считая удельный вес меди приблизительно равным 0.9 г/см кубических.

Литература

1.     Зив Б.Г. и др. Сборник задач по геометрии для 7-11 кл. – М.:Просвещение, 2002.

2.     Перельман Я. И. Занимательная геометрия.- М.: Просвещение, 1998.

3.     Эрдниев П. М. Методика упражнений по математике .М., Просвещение, 1990

4.     И. Смирнова, В. Смирнов Геометрические задачи с практическим содержанием.- М, Чистые пруды, 2010

5.     Атанасян Л. С. И др. Учебник по геометрии для 7-9 кл.- М.; Просвещение, 1996

6.     Интернет-ресурсы.